Зачем это

Скорость и путь, цена и стоимость, рабочие и срок — это не три разных правила, а два: прямая и обратная пропорциональность.

Правило

Прямая: y = kx, частное y:x постоянно. Если x вырос в k раз, y тоже в k раз. Обратная: y = k/x, произведение x·y постоянно. Если x вырос в k раз, y уменьшился в k раз. Модель молча считает, что темп каждого не меняется.

Примеры

Пример 1

Скорость одна: 2 ч — 80 км, 4 ч — 160 км. Путь и время прямо пропорциональны.

Пример 2

3 кг стоят 240 р, 6 кг — 480 р. Цена постоянна, стоимость и масса прямо пропорциональны.

Пример 3

12 рабочих копают канаву за 6 дней, 24 таких же — за 3 дня. Число рабочих и срок обратно пропорциональны.

Пример 4

Пары (2; 5), (4; 10), (6; 15): частное 2,5. Это прямая зависимость.

Пример 5

Пары (2; 12), (4; 6), (8; 3): произведение 24. Это обратная зависимость.

Пример 6

На один и тот же путь скорость и время обратно пропорциональны. На одну и ту же сумму цена и количество тоже.

Так часто ошибаются

  • Любую зависимость называют прямой, не проверив частное или произведение.
  • В обратной задаче умножают срок, когда рабочих стало больше.
  • Забывают оговорку: если люди мешают друг другу, «вдвое больше рук — вдвое быстрее» уже неверно.

Памятка

Прямая: частное постоянно, растут вместе. Обратная: произведение постоянно, одна растёт — другая падает.

Проверь себя

Ответ откроется, если нажать на вопрос. Это не тест — просто проверка.

1. 4 кг стоят 200 р. Сколько стоят 10 кг?

500 р

2. x вырос в 3 раза, зависимость обратная. Что с y?

Уменьшился в 3 раза

3. xy = 36, x = 4. Чему равен y?

9

Рядом с уроком

Это не тест и не оценка. Можно поговорить дома, выбрать, что почитать или посмотреть, и подумать над вопросом без бланка для ответа.

Поговорить дома

  • На чеке проверьте: удвоилась масса — удвоилась ли стоимость. Это прямая зависимость.
  • Где дома обратная: больше рук на одну работу — меньше времени.

Почитать, посмотреть, послушать, поиграть

  • Книга. Я. Перельман. «Живая математика» — Короткие истории про счёт и меры. Одну историю проверьте на чашке, линейке или чеке.

Подумать

Ответ можно не записывать. Интереснее, если ответы разойдутся.

  • Вдвое больше рабочих всегда значит вдвое быстрее?